数列综合

数列综合就像跑接力赛，每一棒都要接稳。先看第一棒给了什么条件，再想清楚后一棒怎么由前一棒推出来；中间某个环节乱了，整条式子都会崩盘。做题时先把首项、公差或公比这些底色定下来，再顺着关系一棒一棒往下传，最后才敢求总和。

• 题型特征

  给出 Sₙ 与 aₙ 的关系式或递推式，求通项与求和，或证明数列为等差、等比数列。

• 解题通法

  用 aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (n ≥ 2) 把和式转成项式求通项；求和时非等差等比则用裂项相消或错位相减。

• 关键公式

  等差 aₙ = a₁ + (n-1)d，Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2；等比 aₙ = a₁·qⁿ⁻¹；裂项 1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)。

• 易错点

  用 aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ 时忘了验证 n = 1 是否成立；等比求和时忽略 q = 1 的情形。

已知数列 {aₙ} 的前 n 项和 Sₙ = n² + 2n，求 aₙ，并求数列 {1/(aₙ·aₙ₊₁)} 的前 n 项和 Tₙ。

1. 1n = 1 时 a₁ = S₁ = 3；n ≥ 2 时 aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = (n² + 2n) - [(n-1)² + 2(n-1)] = 2n + 1，且 n = 1 时也成立，故 aₙ = 2n + 1。
2. 2因 aₙ = 2n + 1，aₙ₊₁ = 2n + 3，于是 1/(aₙ·aₙ₊₁) = 1/2·[1/(2n+1) - 1/(2n+3)]。
3. 3裂项相消后 Tₙ = 1/2·[1/3 - 1/(2n+3)] = n/[3(2n+3)]。

答案：aₙ = 2n + 1；Tₙ = n/[3(2n+3)]。