函数与导数综合

综合题像装修房子，别一进门就抡锤子。先看户型图，想清楚哪面墙能砸、哪里要走线，再按水电、泥瓦、油漆的顺序一步步来。导数题同理：先看清函数长什么样，定好单调和极值的大方向，再动手算细节，最后回头检查有没有漏掉定义域这个门槛。

• 题型特征

  给出含参函数 f(x)，讨论单调性、极值、零点个数或恒成立问题，最后一问常要求证明不等式或求参数范围。

• 解题通法

  先求导 f′(x)，令 f′(x) = 0 找临界点，列表判断符号定单调区间，再求极值；恒成立问题转化为最值比较。

• 关键公式

  (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹，(sin x)′ = cos x，(eˣ)′ = eˣ，(ln x)′ = 1/x；切线斜率 k = f′(x₀)。

• 易错点

  忘记函数定义域；误以为 f′(x) = 0 的点一定是极值点，还需验证两侧 f′(x) 的符号是否变号。

已知函数 f(x) = x³ - 3x，求它的单调区间与极值。

1. 1求导得 f′(x) = 3x² - 3，令 f′(x) = 0 得 x = ±1。
2. 2判断符号：当 x < -1 或 x > 1 时 f′(x) > 0；当 -1 < x < 1 时 f′(x) < 0。
3. 3于是 f(x) 在 (-∞,-1) 与 (1,+∞) 上单调递增，在 (-1,1) 上单调递减；代入得 f(-1) = 2 为极大值，f(1) = -2 为极小值。

答案：递增区间 (-∞,-1)、(1,+∞)，递减区间 (-1,1)；极大值 f(-1) = 2，极小值 f(1) = -2。