空间向量与立体几何

空间向量像给快递包裹标注三维单号：不光有左右、前后，还多了高度这一层。只要把每个方向的分量写清楚，两个包裹之间的「夹角」和「距离」都能靠乘一乘、加一加算出来，立体几何一下子变成了算术题。

• 定义

  空间向量用三个坐标表示，a = (x, y, z)；两向量 a = (x₁, y₁, z₁) 与 b = (x₂, y₂, z₂) 可加减。

• 数量积与夹角

  a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂；cosθ = (a·b)/(|a||b|)。

• 判定垂直

  当 a·b = 0 时 a ⊥ b，可用于证明线线、线面垂直。

• 常用结论

  |a| = √(x² + y² + z²)；求点面距时可先求平面的法向量 n，再用点到面距离公式。

在空间直角坐标系中，已知 A(1, 0, 0)、B(0, 1, 0)、C(0, 0, 1)，求向量 AB 与 AC 的夹角 θ。

1. 1AB = B - A = (-1, 1, 0)，AC = C - A = (-1, 0, 1)。
2. 2AB·AC = (-1)×(-1) + 1×0 + 0×1 = 1。
3. 3|AB| = √2，|AC| = √2，cosθ = 1/(√2×√2) = 1/2。
4. 4由 0° ≤ θ ≤ 180° 得 θ = 60°。

答案：θ = 60°。