数列求和

数列求和像数一长串奶茶拼单的杯子：一瓶瓶单独去加太麻烦，聪明的办法是「成对配好」或者「错位相减」，把零散的数字凑成整齐的组合，几步就能算出总数。找对搭桥的方法，远比闷头硬加快得多。

• 基本思路

  能直接套等差、等比求和公式的用公式法；否则先观察通项的结构，再选合适技巧。

• 裂项相消

  若 aₙ = 1/[n(n+1)]，则 aₙ = 1/n - 1/(n+1)，前 n 项和为 1 - 1/(n+1) = n/(n+1)。

• 错位相减

  通项为等差乘等比（如 aₙ = n·2ⁿ）时，写出 Sₙ 后两边乘公比再相减，转化为等比求和。

• 易错点

  裂项时注意系数，如 1/[(2n-1)(2n+1)] = 1/2·[1/(2n-1) - 1/(2n+1)]；错位相减别漏掉首项或末项。

已知数列 {aₙ} 的通项 aₙ = 1/[n(n+1)]，求它的前 10 项和 S₁₀。

1. 1裂项：aₙ = 1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)。
2. 2相加后中间项两两相消：S₁₀ = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + … + (1/10 - 1/11)。
3. 3只剩首尾：S₁₀ = 1 - 1/11 = 10/11。

答案：S₁₀ = 10/11。