等比数列

等比数列像存钱罐里不断翻倍的钱：今天放 1 块，明天变 2 块，第三天 4 块，第四天 8 块，越往后长得越猛。它不像跑步那样匀速增加，而是每一步都乘上同一个倍数，前期毫不起眼，后期却像滚雪球一样惊人。

• 定义

  从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数 q，这个常数叫公比，即 aₙ/aₙ₋₁ = q。

• 通项公式

  aₙ = a₁qⁿ⁻¹。

• 前 n 项和

  当 q ≠ 1 时 Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)；当 q = 1 时 Sₙ = na₁。

• 常用结论

  若 m + n = p + q，则 aₘ·aₙ = aₚ·a_q；q 不能为 0，且各项均不为 0。

已知等比数列 {aₙ} 中，a₁ = 2，公比 q = 3，求 a₅ 及前 5 项和 S₅。

1. 1由通项公式 aₙ = a₁qⁿ⁻¹，a₅ = 2×3⁴ = 2×81 = 162。
2. 2由求和公式 S₅ = a₁(1 - q⁵)/(1 - q) = 2×(1 - 243)/(1 - 3)。
3. 3S₅ = 2×(-242)/(-2) = 242。

答案：a₅ = 162，S₅ = 242。