等差数列

等差数列就像体育课跑步报数：每个人比前一个多喊同样的数字，队伍越排越长，可每次增加的幅度始终不变。只要知道排头报到几、每次加多少，就能推算出队尾任意一个位置的数值。这种匀速增长的稳定节奏，就是它最鲜明的特点。

• 定义

  从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数 d，这个常数叫公差，即 aₙ - aₙ₋₁ = d。

• 通项公式

  aₙ = a₁ + (n-1)d；当 d > 0 时数列递增，当 d < 0 时数列递减。

• 前 n 项和

  Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n-1)d/2。

• 常用结论

  若 m + n = p + q，则 aₘ + aₙ = aₚ + a_q；aₙ 是关于 n 的一次函数形式。

已知等差数列 {aₙ} 中，a₁ = 3，公差 d = 2，求 a₁₀ 及前 10 项和 S₁₀。

1. 1由通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)d，代入 a₁ = 3、d = 2、n = 10。
2. 2a₁₀ = 3 + 9×2 = 21。
3. 3S₁₀ = 10×(a₁ + a₁₀)/2 = 10×(3 + 21)/2 = 120。

答案：a₁₀ = 21，S₁₀ = 120。